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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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% 主题设置（推荐简洁风格）
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% 信息设置
\title[期权定价的离散模型]{《金融数学》第2章：期权定价的离散模型}
\author{ZFW ET AL}
%\date{2025年9月20日}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
\begin{frame}{目录}
  \tableofcontents
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \begin{frame}{目录}

% \begin{enumerate}
% \item[2.1.] 单期二叉树模型 
% \item[2.2.]  多期二叉树模型
% \item[2.3.]  欧式期权定价的二叉树方法
% \item[2.4.]  美式期权定价的二叉树方法
% \item[2.5.]  奇异期权定价的二叉树方法

% \end{enumerate}

% \end{frame}

\setlength{\parskip}{0.3em}  % 增加段落之间的间距为1em

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.0. 二叉树方法的历史和思路 }

历史：

\begin{itemize}
\item  { 1978. William Sharpe. }
\item  { 1979. Cox, Ross and Rubinstein. }
\end{itemize}

二叉树方法的假定：

\begin{itemize}
\item  在给定的时间间隔里，股票的价格运动只有向上和向下两个方向。
\item  在整个考察期内，股票的价格的每次上涨或下跌的概率和幅度不变。
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{单期二叉树模型 \\ （1.定价公式、2复制投资组合、3.风险中性概率、4.等价鞅测度）}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.1. 单期二叉树模型 }


2.1.1.  二叉树期权定价公式

2.1.2.  复制投资组合

2.1.3.  风险中性概率

2.1.4.  等价鞅测度

%2.1.5.  无套利市场


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.1.1. 二叉树期权定价公式 }

单期二叉树模型的假设：

\begin{itemize}
\item  设标的资产为某种股票。设无风险利率为 $r$. 
\item  {\color{red}设某股票期权的合约内容为在 $t=T$ 时刻有权按某价格买入一份股票。}
\item  交易在时段 $[0,T]$ 的两个端点 $t=0$ 和 $t=T$ 进行。
\item  设标的资产价格在 $t=T$ 时刻的变化只有上升或下降两种状态。
\item  设 $t=0$ 时刻的股票价格为 $S_0$.
\item  在 $t=T$ 时刻的股票价格为 $S_T^u$ 或 $S_T^d$.
\item  在 $t=T$ 时刻的相应的股票期权的价格为 $V_T^u$ 或 $V_T^d$.
\end{itemize}

股票价格和期权价格的二叉树模型：

\begin{center}

\tikz {
\node (a) at (0,0) {$S_0$};  
\node (b) at (2,-0.5) {$S_T^d$};  
\node (c) at (2,0.5) {$S_T^u$};  

\graph { (a) -- (b) };
\graph { (a) -- (c) };

\node (a1) at (4,0) {$V_0$};  
\node (b1) at (6,-0.5) {$V_T^d$};  
\node (c1) at (6,0.5) {$V_T^u$};  

\graph { (a1) -- (b1) };
\graph { (a1) -- (c1) };
}
\end{center}

{\color{red}问题：求这个股票期权在 $t=0$ 时刻的价格 $V_0$. }

回答：根据无套利原理，可得
$$V_0 = \Delta S_0 + e^{-rT}(V_T^u-\Delta S_T^u), \,\, \text{其中} \,\, \Delta = \frac{V_T^u - V_T^d}{S_T^u - S_T^d}. $$

\newpage

符号含义：

u = up

d = down 

S = Stock

V = the value of the option (call option for this Stock)

B = Bond

T = Maturity date

% $\Delta$ = 

\newpage 

单期二叉树期权定价公式的证明：

1. 卖出一份价格为 $V_0$ 的股票期权，并买进 $\Delta$ 份价格为 $S_0$ 的股票。

2. 投资组合在 $t=0$ 时刻的价值为 $\Phi_0=V_0-\Delta S_0$.

3. 若股票价格上涨，则 $\Phi_T^u=V_T^u-\Delta S_T^u$.

4. 若股票价格下跌，则 $\Phi_T^d=V_T^d-\Delta S_T^d$.

5. {\color{red}设该投资组合是无风险的，即有 $\Phi_T^u=\Phi_T^d$, 从而得到 
%德尔塔量是指股权变化与股价变化的比例
$ \Delta = \frac{V_T^u - V_T^d}{S_T^u - S_T^d}$. 
}

6. 设无风险利率是 $r$, 则有 $\Phi_T=V_T-\Delta S_T=e^{rT}\Phi_0$. 

7. 从上式解出 $\Phi_0$ 得到 $\Phi_0=e^{-rT}(V_T-\Delta S_T)$.

8. 由定义 $\Phi_0$ 又等于 $\Phi_0=V_0-\Delta S_0$. 

9. 因此得到定价公式：$V_0 = \Delta S_0 + e^{-rT}(V_T^u - \Delta S_T^u)= \Delta S_0 + e^{-rT}(V_T^d - \Delta S_T^d)$. 

\hspace{1cm}

注：这个投资组合为：卖出一份期权 + 买入 $\Delta$ 份股票。

从头寸价值角度：组合价值为 $\Phi_0 = \Delta S_0 - V_0$（资产减负债）。

从现金流角度：构建组合的净成本为 $V_0 - \Delta S_0$（收入减支出）。




\newpage 

期权定价的单期二叉树模型的例子：

{\color{red}例2.1.} 假设一单位的股票现价为 40 美元，一年以后股票价格可能为 45 美元或者 35 美元。如果一年后相应的期权的价格为 $V_1^u=5$ 美元和 $V_1^d=0$ 美元，即期一年期无风险利率为 5\%. 求 $t=0$ 时该期权的价格。

解答：

\begin{itemize}
%\item 理解该期权的合约内容。
\item 计算德尔塔量：$\Delta = \frac{5-0}{45-35}=\frac{1}{2}$. 
\item 应用定价公式：$V_0=\frac{1}{2}\times 40 + e^{-0.05}\times (5-\frac{1}{2}\times 45)=3.353485$. 
\end{itemize}

\newpage 

图示：

\begin{center}
\tikz {
\node (ax) at (0,0) {$S_0=40$};  
\node (bx) at (2.5,0.5) {$S_T^u=45$};  
\node (cx) at (2.5,-0.5) {$S_T^d=35$};  

\graph { (ax) -- (bx) };
\graph { (ax) -- (cx) };

\node (ax1) at (5,0) {{\color{red}$V_0=?$}};  
\node (bx1) at (7.5,0.5) {$V_T^u=5$};  
\node (cx1) at (7.5,-0.5) {$V_T^d=0$};  

\graph { (ax1) -- (bx1) };
\graph { (ax1) -- (cx1) };
}
\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.1.2. 复制投资组合 }

定义2.1.1：一个由{\color{red}风险资产} $S$ 和{\color{red}无风险资产} $B$ 组成的投资组合 $\Phi=\alpha S + \beta B$ 称为是期权 $V$ 的{\color{red}复制}，如果当 $t=T$ 时，投资组合 $\Phi$ 的价值与期权 $V$ 的价值相同，即 $V_T = \alpha S_T + \beta B_T$.

定义：称金融市场 $\mathcal{M}$ 是{\color{red}完备的}，如果对每个期权 $V$, 至少存在一个投资策略 $\Phi$ 使得 $V_T(\Phi)=V_T$. 这时称期权 $V$ 在该市场中是{\color{red}可得到的}。

定义：设 $\Phi$ 和 $\Psi$ 都是期权 $V$ 的复制，如果对任意 $0\le t\le T$ 都有 $V_t(\Phi)=V_t(\Psi)$, 则称期权 $V$ 在市场中是{\color{red}被唯一复制的}。

\newpage 

定理2.1.1. 假设市场 $\mathcal{M}$ 是{\color{red}无套利的}，则任何可得到的期权 $V$ 在该市场中都能被唯一复制。

证明：设期权 $V$ 有两个自融资的复制策略 $\Phi$ 和 $\Psi$. 
\begin{enumerate}
\item 假设 $V_0(\Phi)\neq V_0(\Psi)$. 
\item 构造投资策略 $\mathds{\eta}$ 使得 $V_0(\mathds{\eta})=0$ 但 $V_T(\mathds{\eta})>0$.  
\item 与无套利的假设矛盾。
\end{enumerate}

\newpage 

使用复制方法得出期权定价公式：

1. 设无风险资产为债券，设在 $t=0$ 时的值为1.

2. 投资组合 $\Phi$ 在 $t=0$ 时的价值为 $\Phi_0=\alpha S_0+\beta$. 

3. 投资组合 $\Phi$ 在 $t=T$ 时的价值如下，并由于 $\Phi$ 是 $V$ 的复制，故
\begin{itemize}
\item 若股票价格上涨：$\Phi_T^u=\alpha S_T^u+\beta e^{rT}=V_T^u$. 
\item 若股票价格下跌：$\Phi_T^d=\alpha S_T^d+\beta e^{rT}=V_T^d$. 
\end{itemize}

4. 联立这两个方程，解出 $\alpha$ 与 $\beta$, 得到 
\begin{eqnarray*}
\alpha = \frac{V_T^u-V_T^d}{S_T^u-S_T^d},\,\,\,\,
\beta = e^{-rT}(V_T^u-\alpha S_T^u). 
\end{eqnarray*}

5. 由此得出定价公式：$V_0 = \Phi_0 = \alpha S_0 + \beta = \alpha S_0 + e^{-rT}(V_T^u-\alpha S_T^u)$. 


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.1.3. 真实世界概率与风险中性概率 }

定义2.1.2. {\color{red}风险中性概率}是指{\color{blue}无套利市场中的}股票上涨和下跌的概率：
\[ 
q=\frac{e^{rT}S_0-S_T^d}{S_T^u-S_T^d}, \quad 
1-q=\frac{S_T^u-e^{rT}S_0}{S_T^u-S_T^d}. 
\]

此时有 
\[ 
\mathbb{E} ^Q [S_T] 
= qS_T^u + (1-q)S_T^d = e^{rT}S_0,
\]

即风险资产与无风险资产有同样的预期收益。

\newpage 

在风险中性概率测度 $Q=(q,1-q)$ 的概率空间里，期权价格可写成
\[ 
V_0 = e^{-rT} \mathbb{E} ^Q [V_T] 
= e^{-rT}\left[ qV_T^u +(1-q)V_T^d \right].
\]
这称为{\color{red}风险中性定价公式}。


这里的随机变量 $V_T$ 服从概率分布 $Q$, 即有  
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|M{4.5cm}|M{2cm}|M{2cm}|}\hline
$V_T$ 的可能取值 & $V_T^u$ & $V_T^d$ \\ \hline 
风险中性概率测度 $Q$ & $q$ & $1-q$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}


\newpage 

%贴现价格、相对价格

定义2.1.3. 设 $S$ 为某一个风险资产，$B$ 为某一个无风险资产，在 $t$ 时刻风险资产 $S$ 的{\color{red}贴现价格}是 $S_tB_t^{-1}$. 也称为{\color{red}相对价格}。

设 $B$ 是无风险资产，则 $B_T=B_0e^{rT}$. 于是从 $V_0 = e^{-rT} \mathbb{E} ^Q (V_T)$ 可得 
\[ \frac{V_0}{B_0} = \mathbb{E}^Q\left( \frac{V_T}{B_T}\right). \]

这个公式的含义是，在风险中性概率测度下，期权的贴现价格的现值等于到期日（$t=T$）期权贴现价格的期望值。

\newpage 

风险中性概率测度的进一步意义：
{\color{red}在风险中性概率测度下，风险资产 $S$ 在时刻 $t=T$ 的期望回报与无风险资产的回报相同}，即有
\[ \frac{\mathbb{E}^Q(S_T)-S_0}{S_0} = \frac{B_T-B_0}{B_0}. \]

随机变量 $S_T$ 的概率分布如下表，因此 $\mathbb{E}^Q(S_T)=qS_T^u+(1-q)S_T^d$. 
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|M{4.5cm}|M{2cm}|M{2cm}|}\hline
$S_T$ 的取值 & $S_T^u = uS_0$ & $S_T^d = dS_0$ \\ \hline 
风险中性概率测度 $Q$ & $q$ & $1-q$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\newpage 

%现实世界的{\color{red}真实世界概率}：

分别用{\color{red}上涨因子} $u$ 和{\color{red}下跌因子} $d$ 两个参数来对应股票价格的波动率。设 $ud=1$. 

到期日的股票价格为 $S_T^u=uS_0$ 或 $S_T^d=dS_0$. 

{\color{red}真实世界概率} $P=(p,1-p)$, 预期收益率 $\mu$, 波动率 $\sigma$. 即
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}^P[S_0^{-1}S] &=& e^{\mu \Delta t} \\
\mathbb{E}^P[(S_0^{-1}S - e^{\mu \Delta t})^2] &=& \sigma^2\Delta t. 
\end{eqnarray*}

由此解出 $$p=\frac{e^{\mu\Delta t}-d}{u-d},\,\, u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},\,\, d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}. $$

\newpage 

%实际例子：

{\color{red}从实际数据计算：}

\begin{enumerate}
\item  预期收益率 $\mu$, 波动率 $\sigma$. 
\item  二叉树模型的上涨因子 $u$ 和下跌因子 $d$. 
\item  真实世界概率 $p$ 和风险中性概率 $q$.  
\end{enumerate}

二叉树图形：

\begin{center}
\tikz {
\node (a) at (0,0) {$S_0$};  
\node (b1) at (3,0.5) {$S_T=uS_0$};  
\node (b2) at (3,-0.5) {$S_T=dS_0$};  
\graph { (a) -- (b1) };
\graph { (a) -- (b2) };
}
\end{center}

分布列：
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{|M{3.5cm}|M{2cm}|M{2cm}|}\hline
$S_T$ 的取值 & $S_T^u = uS_0$ & $S_T^d = dS_0$ \\ \hline 
真实世界概率 $P$ & $p$ & $1-p$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

\newpage 

%{\color{red}风险中性世界的真实世界概率}：

{\color{red}风险中性世界}：股票的预期收益率等于无风险利率 $r$, 波动率仍为 $\sigma$, 风险中性概率 $Q=(q,1-q)$, 其中 $q$ 为上涨概率。即
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}^Q[S_0^{-1}S] &=& e^{r \Delta t} \\
\mathbb{E}^Q[(S_0^{-1}S - e^{r \Delta t})^2] &=& \sigma^2\Delta t. 
\end{eqnarray*}

由此解出 $$q=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d},\,\, u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}},\,\, d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}. $$

称风险中性概率测度 $Q$ 为与真实世界测度 $P$ 等价的{\color{red}鞅测度}。

\newpage 

等价测度的定义：

定义2.1.4. 可测空间 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的概率测度 $P$ 与 $Q$ 称为{\color{red}等价}，如果对 $\forall A\in\mathcal{F}$ 有 $P(A)=0\Leftrightarrow Q(A)=0$ 或者 $P(A)=1\Leftrightarrow Q(A)=1$. 

例子：设在实数轴上定义如下两个测度，证明它们是{\color{red}等价}的：
\begin{eqnarray*}
\mu (A) &=& \int_A \mathds{1}_{[0,1]}(x)dx, \\
\nu (A) &=& \int_A x^2 \mathds{1}_{[0,1]}(x)dx.
\end{eqnarray*}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.1.4.等价鞅测度 }

\begin{itemize}
\item  18世纪，法国，加倍赌注法。
\item  1939年，法国数学家，{ P. P. Levy}. 
\item  1940年代，美国数学家，{ J. L. Doob}.  
\item  1970年代，被引入金融经济学，用来描述资产的价格运动过程。
\end{itemize}

\newpage 

%鞅的形象描述：

定义2.1.5. 一个{\color{red}随机过程}是一族随机变量 $\{X(\omega,t), t\in T\}$, 其中对每个 $t\in T$, 都有一个随机变量 $X(-,t):\Omega\to\mathbb{R}$. 

{\color{red}鞅的形象描述}：鞅是满足如下条件的随机过程，已知过程在过去某一时刻以及之前所有时刻的观测值，那么过程在未来某一时刻的观测值的条件期望等于过去那一时刻的观测值。

{ A {\color{blue}martingale} is a sequence of random variables (a stochastic process) for which, at a particular time, the {\color{blue}conditional expectation} of the next value in the sequence, given all prior values, is equal to the present value. }

%发展史：P.P.Levy, J.L.Doob, 

鞅体现了某种``公平性''。

\newpage 

%带域流的概率空间：

定义：设 $(\Omega, \mathcal{F},P)$ 是概率空间。一个 {\color{red}$\sigma$ 域流}是一列单调递增的 $\sigma$ 域：
\[ \mathcal{F}_0\subseteq \mathcal{F}_1\subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}_n\subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}. \] 

A filtration is an increasing sequence of sigma-algebras defined in relation to some probability space and an index set that has some total order relation, such in the case of the index set being some subset of the real numbers. 

{ With the concept of a filtration, we can study {\color{blue}the amount of information} contained in a stochastic process $\{X_k\}$ at $k\in T$, which can be interpreted as time $k$. }

{ The intuition behind a filtration $\mathcal{F}$ is that as time passes, {\color{blue}more and more information} on $\{X_k\}$ is known or available, which is captured in ${\mathcal {F}}_{k}$, resulting in finer and finer partitions of $\Omega$. }

\newpage 

适应域流的随机过程、离散鞅的定义：

定义2.1.6. 如果每个 $X_k$ 都是 $\mathcal{F}_k$ {\color{red}可测}的，即对任意博雷尔集 $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, 都有 $X_k^{-1}(B)\in\mathcal{F}_k$, 那么称随机过程 $\{X_k\}_{k\ge 0}$ 关于域流 $\{\mathcal{F}_k\}_{k\ge 0}$ 是{\color{red}适应的}。
如果每个 $X_k$ 都是 $\mathcal{F}_{k-1}$ 可测的，那么称它是{\color{red}可预见的}。

定义2.1.7. 如果一个适应于域流 $\{\mathcal{F}_k\}_{k\ge 0}$ 的离散时间随机过程 $\{X_k\}_{k\ge 0}$ 满足下述条件，则称这个随机过程相对于这个域流而言是一个{\color{red}鞅过程}：
\[ \forall k\ge 0:\,\,\, \mathbb{E}[|X_k|]<\infty, \,\,\,\text{而且}\,\,\, \mathbb{E}[X_{k+1} | X_k] = X_k. \]


例子：期权的贴现价格过程是个鞅过程，即
\[ (B^{-1}V)_{t_k} = \mathbb{E}^Q [ (B^{-1}V)_{t_{k+1}}\, | \, \sigma(V_0,V_1,\cdots,V_{t_k}) ].  \]

{\color{red}定理2.1.2.} 设 $(\Omega, \{\mathcal{F}_k\}_{k\ge 0},P)$ 是一个带域流的概率空间。
设随机过程 $\{X_k\}_{k\ge 0}$ 关于这个域流是适应的，设随机过程 $\{\Phi_k\}_{k\ge 0}$ 关于这个域流是可预见的。

\newpage 

从一个鞅得到另一个鞅：

设 $Z_0$ 是一个常数，定义如下随机过程 
\[ Z_k = Z_0 + \Phi_1(X_1-X_0) + \cdots + \Phi_k(X_k-X_{k-1}). \]
如果 $\{X_k\}_{k\ge 0}$ 在测度 $P$ 下关于这个域流是鞅过程，那么 $\{Z_k\}_{k\ge 0}$ 在这个测度下关于这个域流也是一个鞅过程。

证明：计算 $\mathbb{E}[Z_{k+1}\, |\, \mathcal{F}_k] =Z_k$. 


\newpage 

{\color{red}定理2.1.3.（二项式表示定理）}
 假设测度 $Q$ 使得贴现的价格过程 $\{S_k^*\}_{k\ge 0}$ 关于域流 $\{\mathcal{F}_k\}_{k\ge 0}$ 是一个鞅。如果 $\{V_k^*\}_{k\ge 0}$ 在测度 $Q$ 下关于域流 $\{\mathcal{F}_k\}_{k\ge 0}$ 是另一个鞅，那么存在一个关于 $\{\mathcal{F}_k\}_{k\ge 0}$ 是可预见的随机过程 $\{\Phi_k\}_{k\ge 1}$ 使得 
\[ V_k{\,}^* = V_0{\,}^* +\Phi_1(S_1{\,}^*-S_0{\,}^*) + \cdots + \Phi_k(S_k{\,}^*-S_{k-1}{\,}^*). \]

证明：设 $V_i$ 和 $S_i$ 的值给定，则 $V_{i+1}$ 和 $S_{i+1}$ 的值有两个可能。构造 
\[ \Phi_{i+1}=\frac{V_{i+1}{\,}^*(u)-V_{i+1}{\,}^*(d)}{S_{i+1}{\,}^*(u)-S_{i+1}{\,}^*(d)}. \]

注：上一个定理是从 $\Phi$ 和 $X$ 得到 $Z$, 这个定理是从 $V{\,}^*$ 和 $S{\,}^*$ 得到 $\Phi$. 


\newpage 

风险中性概率测度与市场无套利：

{\color{red}定理2.1.4.} 市场是无套利的充分必要条件是 $d<e^{rT}<u$. 

证明（必要性）：

若 $e^{rT}>u$, 则可构造下述投资组合，证明其存在套利机会。
\[ \Phi_t = -S_t+B_0^{-1}S_0B_t. \]

若 $e^{rT}<d$, 也可构造存在套利机会的投资组合。


注：这时可以定义风险中性概率 $Q=(q_u,q_d)$, 其中
\begin{eqnarray*}\left\{\begin{array}{l}
q_u = Q(S_T = S_T^u) = \frac{e^{rT}-d}{u-d}, \\
q_d = Q(S_T = S_T^d) = \frac{u-e^{rT}}{u-d}.
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
 
\newpage 

无套利市场的期权定价

{\color{red}定理2.1.5.} 如果市场是无套利的，那么存在风险中性概率测度 $Q$, 使得看涨期权和看跌期权的价格分别可以写成
\begin{eqnarray*}
 B_0^{-1}V_0 &=& \mathbb{E}^Q [B_T^{-1}(S_T-X)^+], \\
 B_0^{-1}V_0 &=& \mathbb{E}^Q [B_T^{-1}(X-S_T)^+].
\end{eqnarray*}


\newpage 

%风险资产定价基本定理：

{\color{red}定理2.1.6.} 存在等价鞅测度的充分必要条件是市场是无套利的。%这称为风险资产定价基本定理。

证明（必要性）：

1. 市场称为是无套利的，是指对任意的自融资策略 $\Phi$, 
\[ P[\Phi_0=0]=1\Rightarrow P[\Phi_T=0]=1. \]

2. 由条件，可设 $Q$ 是 $P$ 的等价鞅测度，则有
\( B_0^{-1}\Phi_0 = \mathbb{E}^Q [B_T^{-1}\Phi_T]. \)

3. 设 $P[\Phi_0=0]=1$. 设 $P[\Phi_T\ge 0]=1$. 则 $Q[\Phi_T\ge 0]=1$. 

4. 由 $\mathbb{E}^Q [\Phi_T]=0$ 得 $Q[\Phi_T= 0]=1$. 因此得 $P[\Phi_T= 0]=1$. 


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{多期二叉树模型}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.2. 多期二叉树模型的期权定价 }

{\color{red}定理（多期二叉树模型的期权定价公式）}：设在初始时刻股票价格为 $S=S_0$, 在 $T$ 时刻股票价格为 $S_T$. 将区间 $[0,T]$ 分成 $n$ 个相等的区间
\[ 0 = t_0<t_1<\cdots<t_n=T, \] 
其中 $t_i=i\Delta t$, $\Delta t=T/n$. 定义风险中性概率测度和其它符号如下 
\[ q_u = \frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d} =q, \,\, %q_d = \frac{u-e^{r\Delta t}}{u-d}=1-q, \,\,
\Phi(n,h,q)=\sum\limits_{i=h}^{n} C_n^i q^i(1-q)^{n-i},\,\, \hat{q}=uqe^{-r\Delta t},  \]
则 $n$ 期二叉树模型的欧式看涨期权的定价公式为
\[ c_0 = S_0 \Phi(n,h,\hat{q}) - Xe^{-rT} \Phi(n,h,q). \] 


股票价格的多期二叉树模型的图示：

\begin{center}

\tikz {
\node (dd) at (0,0) {$S_0$};  
\node (e1) at (2,0.5) {$S_0u$};  
\node (e2) at (2,-0.5) {$S_0d$};  
\node (f1) at (4,1) {$S_0u^2$};  
\node (f2) at (4,0) {$S_0ud$};  
\node (f3) at (4,-1) {$S_0d^2$};  
\node (g1) at (6,1.5) {$S_0u^3$};  
\node (g2) at (6,0.5) {$S_0u^2d$};  
\node (g3) at (6,-0.5) {$S_0ud^2$};  
\node (g4) at (6,-1.5) {$S_0d^3$};  

\graph { (dd) -- (e1) };
\graph { (dd) -- (e2) };
\graph { (e1) -- (f1) };
\graph { (e1) -- (f2) };
\graph { (e2) -- (f2) };
\graph { (e2) -- (f3) };
\graph { (f1) -- (g1) };
\graph { (f1) -- (g2) };
\graph { (f2) -- (g2) };
\graph { (f2) -- (g3) };
\graph { (f3) -- (g3) };
\graph { (f3) -- (g4) };

}

\end{center}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{欧式期权定价的二叉树方法}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[allowframebreaks]{2.3. 欧式期权定价的二叉树方法 }

例子2.2. 假设某个股票的当前价格是60美元，到期时间为9个月，股票价格每3个月上升或下降的幅度为 10\%, 无风险利率为 5\%. 求一个敲定价格为58美元的欧式看涨期权的价格。

解答：先计算到期日的4个节点的期权价格，再算出倒退3个月的3个节点的期权价格，再算出倒退6个月的2个节点的期权价格，最后算出 $t=0$ 时的期权价格。

\begin{center}

\tikz {
\node (hh) at (0,0) {$c_0$};  
\node (k1) at (2,0.5) {$c_u$};  
\node (k2) at (2,-0.5) {$c_d$};  
\node (m1) at (4,1) {$c_{uu}$};  
\node (m2) at (4,0) {$c_{ud}$};  
\node (m3) at (4,-1) {$c_{dd}$};  
\node (n1) at (6,1.5) {$c_{uuu}$};  
\node (n2) at (6,0.5) {$c_{uud}$};  
\node (n3) at (6,-0.5) {$c_{udd}$};  
\node (n4) at (6,-1.5) {$c_{ddd}$};  

\graph { (hh) -- (k1) };
\graph { (hh) -- (k2) };
\graph { (k1) -- (m1) };
\graph { (k1) -- (m2) };
\graph { (k2) -- (m2) };
\graph { (k2) -- (m3) };
\graph { (m1) -- (n1) };
\graph { (m1) -- (n2) };
\graph { (m2) -- (n2) };
\graph { (m2) -- (n3) };
\graph { (m3) -- (n3) };
\graph { (m3) -- (n4) };
}

\end{center}

课堂练习：求一个敲定价格为60美元的欧式看涨期权的价格。


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{美式期权定价的二叉树方法}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.4. 美式期权定价的二叉树方法 }

\begin{itemize}

\item  例子2.3. 假设某个股票的当前价格是50美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降的幅度为 10\%, 单期无风险利率为 5\%. 求一个敲定价格为48美元的美式看跌期权的价格。

\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{奇异期权定价的二叉树方法}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.5. 奇异期权定价的二叉树方法 }

2.5.1.  障碍期权

2.5.2.  回望期权

2.5.3.  亚式期权

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.5.1. 障碍期权的二叉树方法 }

\begin{itemize}

\item  例子2.4. 假设某个股票的当前价格是50美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降的幅度为 10\%, 单期无风险利率为 5\%. 设置向下敲出的障碍水平为跌破48美元。求一个敲定价格为52美元时的欧式看涨期权的价格。

\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.5.2. 回望期权的二叉树方法 }

\begin{itemize}

\item  例子2.5. 假设某个股票的当前价格是25美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降的幅度为 15\%, 单期无风险利率为 5\%. 求一个具有浮动敲定价格的欧式回望看涨期权的价格。

\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{2.5.3. 亚式期权的二叉树方法 }

\begin{itemize}

\item  例子2.6. 假设某个股票的当前价格是25美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降幅度为 15\%, 单期无风险利率为 5\%. 求一个具有固定敲定价格 $X=25$ 美元的美式算术平均亚式看跌期权的价格。 

\item  解答：


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{习题2 }

\begin{itemize}

\item[2.1.] 假设某个股票的当前价格是 100 美元，一年后，它的价值可能是 110 美元或者 90 美元。如果一年后相应的衍生产品的价格为 $V_1^u=10$ 美元和 $V_1^d=0$ 美元。设一年期无风险利率为 5\%. 求 $t=0$ 时该衍生产品的价格。

\item[2.4.] 假设在单期二叉树模型中，无风险利率为 $r$, 到期日为 $T$,  上升幅度为 $u$ 和下降幅度为 $d$, 且满足 $u>d>e^{rT}$. 证明一个投资者通过借入现金并尽可能多地购买资产和在一个时期后卖出资产并还回贷款，他就能锁定一个无风险收益。

\item[2.6.] 假设某个股票的当前价格是 50 美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降幅度为 10\%, 单期无风险利率为 5\%. 求一个敲定价格为 52 美元的欧式看涨期权的价格。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{参考文献}


\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{zfw} 张寄洲，傅毅，王杨，金融数学，科学出版社，2015年4月第1版。

\bibitem{crr} J. C. Cox, S. Ross and M. Rubinstein. Option pricing, a simplified approach[J]. Journal of Financial Economics, 1979(7): 229-263.  

%\bibitem{sharpe} 

\end{thebibliography}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

